PMI Matemáticas semestre I

ÁREA: MATEMÁTICAS

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS – GRADO SÉPTIMO

PROFESORA:  ZAIDA MABEL ANGEL CUERVO

COMPETENCIAS:

·         Identifica el conjunto de los números enteros, sus propiedades y los usa en distintos contextos.

·         Formula y resuelve problemas aritméticos  haciendo uso del conjunto de los números enteros.

·         Soluciona problemas de la matemática y de la cotidianidad en los que deba hacer uso del conjunto de los números enteros.

·         Presenta el PMI en forma organizada y en la fecha acordada.

ACTIVIDAD No. 1

HISTORIA DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.

Los matemáticos hindúes del siglo VI  mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes,  que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras.  Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.

El alemán Michael Stifel  (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso  entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS ENTEROS?

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:

• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a tener en cuenta son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ejemplos :        – 3   +  – 8  =   – 11      ( sumo y conservo el signo)

                            12   +   25  =   37       ( sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ejemplo:          – 7   +   12   =   5    (tener 12 es lo mismo que tener  +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12  –  7  =   5 ¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de  +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo).

                    5   +   – 51   =   – 46   ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

                   – 14  +   34   =    20

Resta en Z

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a)         Cambiar el signo de la resta en suma y

b)         Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej:     –3  –  10    =   –3    +  – 10  =    –13   (signos iguales se suma y conserva el signo)

            19  –  ( – 16)    =      19   +   ⁺  16   =     19   +    16    =    35

Multiplicación y División en Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

+   •    +    =    +

–   •   –     =    +

+   •   –     =   –

–  •   +     =   –

Ejemplos:   – 5   •    – 10   =    50    (5  •   10   =    50 ;   –  •   –   =   + )

                     12  •    – 4    =   – 48    (12 •   4   =     48;:    + •  –   =   – )

Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de estas otras operaciones).

TALLER No. 1

Con base en lo explicado en la parte superior realice los siguientes ejercicios.

1. Ingrese a las páginas señaladas, soluciones los ejercicios y páselos a una hoja.

http://www.vitutor.com/di/e/a_3e.html       Ejercicios de suma de Z

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/04/03.htm                                                                            Ejercicios suma y resta Z

http://www.vitutor.com/di/e/a_5e.html                        Multiplicación de Z

http://www.vitutor.com/di/e/a_6e.html                        División de Z

http://www.vitutor.com/di/e/a_7e.html                        Potenciación de Z

http://www.vitutor.com/di/e/a_10_e.html                    operaciones combinadas de Z

2.       Escriba el entero que corresponda a cada situación:

a.       6 goles en contra

b.      Una ganancia de $50.000

c.       Un depósito de $10.000

d.      Una ganancia de 9  puntos

e.      120 metros bajo el nivel del mar

f.        El año 1600 D.C.

g.       4 goles a favor

h.      Sin pérdida ni ganancia

i.         3 segundos antes de despegar

j.        Un crecimiento de 2 cm

k.       8ºC

l.         El año 130 A.C.

m.    Un aumento de 11 libras.

3.       Ubica el siguiente listado de números enteros sobre la recta numérica.

        -5, -10, 8, 0, 7,5, 3, -1

       4.  Sustituye por < o > según sea el caso.

a.   -121 ____  - 21                  b.  – 23 ____ - 32                            c.   - 6 ___ 0

d.   3      ____ - 4                      e.       1 ____ - 1                                f.     7 ___ -89

g.   -38  ____  - 83                   h.   -4   ____ - 8                                i.    -4____ 50

     

5.       En una prueba de matemáticas, el curso séptimo obtuvo un promedio de 12 puntos sobre un total de 20.  Para una mejor interpretación de los puntajes, el maestro de matemáticas realiza una tabla en la que se específica para cada estudiante un valor numérico que indica qué tan cerca  (por encima) o por debajo está el puntaje con respecto al promedio.

NOMBRE	PUNTAJE	VALOR CON RESPECTO A 12
Carlos Luisa Susana MarÌa F. Juan P Paola Diana Jorge David Luis	11 18 17 9 6 12 11 7 16 13	1 por debajo = -1 6 por encima = +6 5 por encima = +5 3 por debajo = -3 6 por debajo = -6 0 1 por debajo = -1 5 por debajo = -5 4 por encima = +4 1 por encima = +1

Ordene la lista de estudiantes, tenga en cuenta que el primero será el de mayor valor con respecto al promedio y el último el de menor valor.

6.       Efectúa las siguientes operaciones:

15 + (-15) =                                        (-7) + 7 =                             4 + (-3) =

a + (-a) =                                            (-m) + m =                          5 + [(-6) + (-3)] =

0 + c =                                                  (-c) + 0 =                             0 + (b + c)=

5 + (-5) + 7 =                                     (-30) + 30 + 0=                  a + (-a) + b=

7.       Representa gráficamente las operaciones sobre la recta numérica:

6 + (-6)=                                             4 + 0 =                                  8 + (-7)=

15 + 9 =                                               (-2) + 2 =                             8 + 0 =

11 + 8 +(-7)=                                     (-3) + 4 + (-2) +1 =           7 + (-8) + 2 + (-3) =

8.       Marta tiene $31.000 en su cuenta de ahorros.  El lunes consigna $7.500 y el viernes retira $25.000. ¿Con qué número representaría lo que tiene ahorrado? ¿Con cuál entero representaría la consignación?¿Y el retiro?

9.       Julia trabaja como mensajera de una empresa localizada en la calle primera y realiza el lunes los siguientes recorridos: 20 cuadras hacia el norte, luego 10 cuadras más hacia el norte y regresa a la empresa.  Sale nuevamente y se dirige 15 cuadras hacia el sur y va a almorzar a su casa que queda 30 cuadras más al sur de la empresa.

a.       ¿Cuántas cuadras recorrió ella en total?

b.      Si al norte se le asigna el valor positivo, ¿el sur que valor tiene?

c.       ¿cuáles recorridos fueron mayores, los positivos o los negativos?

10.   Un padre de familia sale de su hogar con $70.250 a realizar unas compras.  Si regresa a su casa con una deuda de $8.200, ¿qué número entero representa el valor total de sus compras?

11.   Un ciclista realiza 3 recorridos sobre una misma línea recta.  El primero es de 8 km hacia la derecha del punto de partida y el segundo de 25 km hacia la izquierda del punto de llegada.  El tercer y último recorrido fue de 17 km a la derecha del punto de llegada del segundo recorrido.  Al final de los 3 recorridos, ¿queda el ciclista a la derecha o a la izquierda del punto de partida? ¿A qué distancia?

12.   Completa y resuelve en tu cuaderno la siguiente tabla:

m	-3	18	-7	248	-875	14530	-17200	-23200
n	14	-26	13	-128	-513	-365	-8930	4953
m + n
m + (-n)

13. Una máquina de hacer pozos perfora 15 m al día. Si ha tardado 8 días en perforar un pozo de petróleo, ¿qué profundidad tiene el pozo?
14. El nivel del agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6 días. A causa de las intensas lluvias caídas los 3 días siguientes ha subido el nivel 7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa?
15. Pitágoras murió el año 493 a de C y nació en el 580 a.C. ¿Cuántos años vivió?
16. Amaya y Jorge van en bicicleta y salen del mismo lugar. Amaya avanza 6 km y luego retrocede 2 km, mientras que Jorge avanza 8 km y retrocede 5 km.

a) ¿A qué distancia se encuentra uno del otro?

b) ¿Quién ha avanzado más de los dos?

c) ¿Quién ha recorrido más km?