Guía No. 2 Trigo 1

COLEGIO PAULO FREIRE

GUÍA II. CURSO SEMIPRESENCIAL DE TRIGONOMETRÍA I

TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

COMPETENCIAS

• Identificar las relaciones trigonométricas básicas
• Solucionar triángulos rectángulos utilizando el Teorema de Pitágoras y las relaciones trigonométricas
• Modelar problemas a través de triángulos rectángulos y solucionarlos por medio de las relaciones trigonométricas.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo consiste en calcular seis elementos: los tres lados y los tres ángulos. Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un lado. Si el triángulo es rectángulo (un ángulo es 90º) basta conocer dos de sus elementos, uno de los cuales debe ser un lado.

Se llama razón trigonométrica de un ángulo agudoa cada uno de los cocientes que se pueden establecer entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera. Las razones trigonométricas fundamentales (seno, coseno y tangente) relacionan los ángulos agudos y los lados de un triángulo rectángulo de la siguiente forma:

También se conocen como:

Sen A = cateto opuesto/hipotenusa

Cos A = cateto adyacente/hipotenusa

Tang A = cateto opuesto/cateto adyacente

EJEMPLOS

 Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras.Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones:

Resolver un triángulo significa encontrar el valor numérico de cada uno de sus tres lados y sus tres ángulos. En esta clase de problemas siempre se nos dan los valores de tres elementos, uno de los cuales es uno de los lados, y se nos pide hallar los otros tres. De la geometría plana elemental sabemos que "la suma de las medidas de los tres ángulos interiores en cualquier triángulo es igual a 180 grados". Así, para encontrar el valor del tercer ángulo, conocidos los otros dos, basta con utilizar la siguiente fórmula:

Ejemplos de problemas

1. Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con respecto al suelo

Se selecciona la relación:

 Sen B = cateto opuesto / hipotenusa, y se despeja la hipotenusa que en este caso es la longitud de la escalera

Hipotenusa = cateto opuesto / Sen B

h = 4.33 m / Sen 60°

h = 5 m

La escalera mide 5 metros

2.Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m

Se selecciona la relación:

Cos B = cateto adyacente/hipotenusa

Cos B = 7.5m/13.75m

Cos B = 0.5454

B = ArcCos 0.5454

B = 56° 57’

Recuerda que los ángulos de depresión son aquellas que se obtiene “mirando hacia abajo” y los ángulos de elevación “mirando hacia arriba”

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Determine las 6 relaciones trigonométricas para Ѳ

 

      6                                  10

                                               Ѳ           Ѳ

                                   8                      

                                   2                                 

                        Ѳ                                      1

                              √5

2. En los siguientes ejercicios determine el valor de x

                

3. Solucione  los siguientes problemas utilizando las relaciones trigonométricas

1. Una escalera de 25 pies de largo está reclinada en un edificio. Si la escalera forma un ángulo de 37° con el suelo, ¿a qué altura del edificio llega la escalera?
2. Una escalera está reclinada en un edificio.  Si la escalera forma un ángulo de 63° con el suelo y llega al edificio a una altura de 16 metros, ¿a qué distancia del edificio se encuentra el pie de la escalera?
3. Un observador, que se encuentra a 50 pies de la base del asta de una bandera, determina que el ángulo de elevación  hasta la punta del asta es de 48°. ¿Qué altura tiene el asta?
4. Un guardabosque se encuentra en una torre  a 40 metros sobre el nivel del suelo.  Descubre un incendio a un ángulo  de depresión de 6°.  ¿A qué distancia se encuentra el incendio  de la torre del guardabosque?
5. Un piloto de un jet de la fuerza naval va a aterrizar en un portaviones.  A una altitud de 3000 pies, el piloto observa el portaviones con un ángulo de depresión de 15°.  ¿Cuál es la distancia horizontal entre el avión y el portaviones?
6. El dirigible de Goodyear  está volando a una altitud de 500 pies y pasa directamente por encima de un observador en el suelo.  Después de un minuto, él ángulo desde el observador hacia el dirigible es de 24°. Determine la velocidad del dirigible.
7. Una escalera eléctrica forma un ángulo de 20° con respecto al suelo y transporta a la gente a través de una distancia vertical de 38 pies entre una plataforma del metro y la calle. Si una persona tarda 30 segundos en llegar desde el principio de la escalera hasta el final, ¿a qué velocidad se mueve la escalera?
8. Un alambre de soporte debe ser colocado en la punta de un poste telefónico de 30 pies de altura y fijado en la tierra.  ¿Qué cantidad de alambre se necesitará para que hiciera un ángulo de 50° con el nivel del suelo?
9. Una escalera eléctrica debe transportar a la gente a una distancia vertical de 18 pies y debe hacer un ángulo de 20° con el suelo.  ¿Qué longitud debe tener la escalera?
10. Un globo de aire caliente se mantiene a una altitud constante de 800 metros y pasa directamente por encima de un observador. Después de dos minutos, el observador ve el globo con un ángulo de elevación de 70°.  Determine la velocidad del globo.